- Представление групп
-
Представле́ние гру́ппы, точнее линейное представление группы — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства. Образ этого гомоморфизма сам является группой, элементами которой являются соответствующие линейные преобразования или их матрицы. То есть, представление группы, G, есть гомоморфизм групп
- ,
где обозначает группу автоморфизмов векторного пространства W.
Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Например, унитарная группа U(1) может быть представлена как группа из вращений двухмерного пространства вокруг центра. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры.
Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений групп.
Типы представлений
- Представление группы в пространстве которого есть собственное инвариантное подпространство называется приводимым; в противном случае — неприводимым или простым.
- Если G ― топологическая группа, то под представлением G обычно понимается непрерывное линейное представление группы G в топологическом векторном пространстве.
Вариации и обобщения
В более широком смысле, под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества X. Например:
- Проективное представление группы — гомоморфизм группы в группу проективных преобразований проективного пространства.
Wikimedia Foundation. 2010.